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도박사의 오류 — 뜻, 사례, 그리고 왜 틀렸는지 계산으로

도박사의 오류(gambler's fallacy)는 서로 독립인 사건이 한쪽으로 몰려 나오면 다음에는 반대쪽이 나올 '차례'라고 믿는 착각입니다. 공정한 룰렛에서 빨강이 10번 연속 나와도 다음 판 빨강 확률은 48.65%로 처음과 같습니다. 10연속 자체는 0.074%로 드물지만, 그 드문 일은 이미 일어났고 남은 것은 한 판일 뿐입니다. 이 쪽은 뜻과 사례를 정리한 뒤, 사람들이 근거로 드는 대수의 법칙·평균 회귀가 왜 이 믿음을 뒷받침하지 못하는지 숫자로 보이고, 룰렛·바카라 100만 판을 돌려 '연속 뒤 반대에 걸기'의 성적을 셉니다.

도박사의 오류 뜻 — '차례'는 없다

룰렛 공, 바카라 카드(섞인 슈), 주사위, 슬롯머신의 난수는 지난 결과를 기억하지 않습니다. 이런 사건을 독립이라고 하고, 독립이면 조건부 확률이 원래 확률과 같습니다: P(다음 빨강 | 앞 10번 빨강) = P(빨강) = 18/37. 도박사의 오류는 이 등식을 믿지 못하는 데서 생깁니다. 반대 방향 착각도 있습니다. 연속이 나오면 '흐름이 왔다'며 같은 쪽에 거는 뜨거운 손(hot hand) 오류입니다. 결과가 독립인 게임에서는 꺾기도 따라가기도 틀렸고, 아래 모의 실험이 둘 다 같은 평균으로 끝나는 것을 보여 줍니다.

이 착각은 '작은 표본도 전체 비율을 닮아야 한다'는 직관에서 나옵니다(심리학에서는 '작은 수의 법칙에 대한 믿음'이라고 부릅니다). 빨강·검정이 반반이라면 10번 안에서도 반반이어야 할 것 같지만, 10번은 반반이 되기에 너무 작은 표본입니다. 빨강 5연속은 2.72%로 37번에 한 번이고, 100판을 돌리면 어느 색이든 5연속이 한 번은 나올 확률이 77.0%입니다. 연속은 이상한 일이 아니라 공정한 게임의 정상 모습입니다.

도박사의 오류 사례 — 몬테카를로 1913과 카지노의 일상

가장 유명한 사례는 1913년 8월 모나코 몬테카를로 카지노의 룰렛입니다. 검정이 26번 연속 나왔고, 검정이 이어질수록 손님들은 '이제는 빨강'이라며 빨강에 점점 큰돈을 걸어 전부 잃었습니다. 유럽식 룰렛에서 검정 26연속 확률은 (18/37)²⁶ = 136,823,184번에 1번입니다. 드문 일이지만, 그 확률은 26판을 시작하기 전의 계산입니다. 20번이 이미 나온 시점에서 21번째가 검정일 확률은 다른 어느 판과 똑같이 48.65%였습니다. 그래서 이 오류를 몬테카를로 오류라고도 부릅니다.

표의 마지막 줄이 카지노에서 가장 돈이 드는 형태입니다. '연속으로 잃었으니 딸 차례'라는 믿음은 베팅을 올리는 근거가 되고, 그 결과가 마틴게일입니다. 확률은 그대로인데 건 돈만 커지므로 평균 손실도 그만큼 커집니다.

연속이 길어질수록 드물어지는 것은 '연속'이지 '다음 판'이 아니다

아래 표는 유럽식 룰렛에서 빨강이 k번 연속 나올 확률, 100판 안에 그런 연속이 한 번이라도 나올 확률, 그리고 그 연속 뒤 다음 판에 빨강이 나올 확률입니다. 마지막 칸이 전부 같다는 것이 이 쪽의 요점입니다. 바카라 뱅커(타이 제외 50.68%)도 같은 구조입니다 — 뱅커 5연속은 3.34%, 10연속은 0.112%이고 그 뒤 다음 판 뱅커는 그대로 50.68%입니다.

빨강 10연속은 1,347번에 1번이지만, 100판 안에 7연속이 한 번이라도 나올 확률은 27.5%입니다. 카지노에 몇 시간 앉아 있으면 긴 연속을 꼭 보게 되고, 그때마다 '이제 반대'라는 생각이 듭니다. 연속·연패 확률을 더 넓게 보려면 룰렛 확률과 바카라 확률에 표가 있습니다.

대수의 법칙(큰수의 법칙)은 '비율'을 말한다 — 횟수는 오히려 벌어진다

도박사의 오류를 변호할 때 가장 많이 나오는 말이 "큰수의 법칙에 따라 결국 반반이 된다"입니다. 맞는 말이지만 비율이 반반에 가까워진다는 뜻이고, 앞면과 뒷면의 횟수가 같아진다는 뜻이 아닙니다. 공정한 동전을 n번 던질 때 앞면 횟수가 n/2에서 평균 얼마나 어긋나는지(기대 절대 편차)를 이항 분포로 정확히 세면 아래와 같습니다. n이 1만 이하는 모든 경우를 더한 값, 그 위는 정규 근사 √(2npq/π)입니다(1만에서 두 값의 차이는 0.003% 안).

100번 던지면 평균 4.0번, 100만 번 던지면 평균 399번이 어긋납니다. 횟수 차이는 √n 에 비례해 커지고, 비율 차이만 1/√n 으로 작아집니다. 그러니 "앞면이 많이 나왔으니 뒷면이 갚아 준다"는 일은 없습니다. 횟수 차이는 갚아지는 것이 아니라, 더 많은 던지기 속에 묻혀 비율로만 작아 보이는 것입니다.

평균 회귀는 '되돌아오는' 것이 아니라 '묻히는' 것

평균 회귀는 실제로 있는 현상입니다. 앞면 10연속 같은 극단적인 결과 뒤에는 평범한 결과가 올 가능성이 높습니다. 다음 10번의 앞면은 평균 5번이고, 10번이 아니기 때문입니다. 그런데 5번보다 적게 나와서 앞선 10번을 되돌리는 것은 아닙니다. 앞면 10연속 뒤에 n번을 더 던졌을 때 기대되는 모습입니다.

비율은 100% → 54.5% → 50.05%로 50%에 다가가지만, 앞면이 앞선 10번은 끝까지 그대로입니다. 평균 회귀는 '다음 결과가 극단적이지 않을 것'이라는 뜻이고, '반대쪽이 더 나올 것'이라는 뜻이 아닙니다. 카지노에서 이 차이는 돈입니다. 잃은 돈은 이후 판에서 '회귀'로 돌아오지 않고, 이후 판은 이후 판의 하우스 엣지대로 따로 잃습니다.

100만 판 모의 실험 — 연속 뒤 반대에 걸기 · 따라 걸기 · 매 판 걸기

유럽식 룰렛(빨강·검정, 0은 둘 다 짐)과 8덱 바카라(뱅커 0.95배·플레이어 1배, 타이는 돌려받고 줄은 안 끊김)를 각각 100만 판 돌렸습니다(결정적 난수라 빌드마다 같은 숫자, 빌드 때 검산). 같은 쪽이 k번 연속 나온 뒤 ① 반대쪽에 걸기(도박사의 오류) ② 같은 쪽에 걸기(뜨거운 손) ③ 아무것도 보지 않고 매 판 걸기(기준)의 판당 손익을 셉니다.

룰렛 빨강·검정 — 기준 손익 −2.64% (이론 −2.70%)

바카라 뱅커·플레이어 — 기준(매 판 뱅커) 손익 −0.98% (이론 −1.06%)

룰렛은 연속이 몇 번이든 다음 판 같은 색 비율이 48.65% 근처에서 흔들리고, 세 베팅의 판당 손익은 모두 −2.7% 근처입니다(5연속 뒤 54,112번 표본이라 ±0.4%포인트쯤 흔들립니다). 바카라의 '다음 판도 같은 쪽'이 50%보다 조금 높은 것은 뱅커 줄이 플레이어 줄보다 흔해서이고(50.01%부터 시작해 k가 커질수록 뱅커 확률 50.68%에 가까워집니다), 꺾기·따라가기 손익은 둘 다 뱅커 −1.06%와 플레이어 −1.24% 사이의 마이너스입니다. 그림·중국점 같은 패턴 6종을 1만 슈에 걸어 본 결과는 바카라 그림·패턴에, 금액을 바꾸는 배팅 시스템 9종은 룰렛 전략에 있습니다.

예외 — 독립이 아닐 때는 오류가 아니라 계산이다

도박사의 오류는 독립 사건에 대한 착각입니다. 섞지 않고 이어서 쓰는 카드는 독립이 아닙니다. 블랙잭에서 큰 카드가 많이 남으면 손님이 유리해지고, 남은 카드를 세는 것이 카드 카운팅입니다. 이것은 지난 결과가 다음 확률을 실제로 바꾸는 경우라 오류가 아닙니다. 바카라도 슈를 이어 쓰지만 8덱에서 카드 한 장이 빠질 때 뱅커·플레이어 확률은 0.01%포인트 안에서만 움직여, '뱅커가 많이 나왔으니 플레이어'라는 식의 줄 읽기로는 아무것도 얻지 못합니다(카드 제거 효과 표는 카드 카운팅 쪽 아래). 룰렛·주사위·슬롯은 완전히 독립이라 지난 결과를 쓸 방법이 없고, 룰렛 휠이 기계적으로 기울어진 극히 드문 경우만 예외입니다.

구별하는 기준은 하나입니다. "지난 결과가 물리적으로 다음 결과의 확률을 바꾸는가?" 카드가 빠지는 것은 바꿉니다. 공이 지난 판에 어디 떨어졌는지는 바꾸지 않습니다.

도박사의 오류 체험기 — 연속 횟수를 고르고 1만 판 돌려 보기

게임과 연속 횟수를 고르면 그 연속이 나올 확률과 그 뒤 다음 판 확률을 보여 주고, 단추를 누르면 브라우저에서 1만 판을 돌려 반대에 걸기·따라 걸기·매 판 걸기의 판당 손익을 셉니다. 누를 때마다 결과가 조금씩 다르지만, 세 줄이 모두 같은 이론값 근처에 머무는 것을 몇 번 눌러 확인할 수 있습니다. 저장·전송은 없습니다.

이 착각이 카지노에서 돈이 되는 방식

• 베팅을 올린다: '딸 차례'라는 믿음은 연패 뒤 베팅을 올리는 근거가 되고, 평균 손실은 건 돈에 비례해 커집니다. 계산은 마틴게일.
• 자리를 못 뜬다: '이제 올 때 됐다'는 생각이 한 판을 더 하게 합니다. 한 판의 평균 손실은 하우스 엣지 × 베팅이고, 판 수가 늘수록 결과는 평균에 가까워집니다(하우스 엣지).
• 패턴을 산다: 그림·줄·꺾기 같은 규칙은 다음 판 확률을 바꾸지 못하므로, 그 규칙을 파는 사람만 이익을 봅니다.

카지노고수는 도박을 권하지 않습니다. 이 쪽의 목적은 이기는 법이 아니라, '차례가 왔다'는 느낌이 왜 믿을 수 없는지 아는 것입니다. 연속으로 잃은 뒤 멈추기 어렵다면 도박 중독 자가진단을 해 보고, 한국도박문제예방치유원 ☎1336 에 상담할 수 있습니다.